行列式（Determinant）是線性代數中的一個重要概念，通常用於判斷矩陣是否可逆以及計算線性方程組的解。行列式的性質可以通過多種方法證明，以下是行列式的一些基本性質和證明思路：
對於一個 ( n \times n ) 的方陣 ( A = [a_{ij}] )，其行列式 ( \det(A) ) 定義為：
[ \det(A) = \sum_{\sigma \in Sn} \text{sgn}(\sigma) \cdot a{1\sigma(1)} a{2\sigma(2)} \cdots a{n\sigma(n)} ]
其中：
行列式具有以下基本性質：
假設矩陣 ( A ) 的第 ( i ) 行可以表示為兩個向量的線性組合 ( \mathbf{r}_i = \alpha \mathbf{u} + \beta \mathbf{v} )。根據行列式的定義，可以展開為：
[ \det(A) = \alpha \det(A') + \beta \det(A'') ]
其中 ( A' ) 和 ( A'' ) 分別是將 ( A ) 的第 ( i ) 行替換為 ( \mathbf{u} ) 和 ( \mathbf{v} ) 後的矩陣。這表明行列式對每一行是線性的。
交換矩陣的兩行 ( i ) 和 ( j )，相當於對排列 ( \sigma ) 進行一次對換。由於對換會改變排列的奇偶性，因此 ( \text{sgn}(\sigma) ) 會改變符號，從而導致行列式變號。
單位矩陣 ( I ) 的行列式為 1，因為只有主對角線上的元素非零，且排列 ( \sigma ) 為恆等排列，符號為 ( +1 )。
利用行列式的定義和排列的性質，可以證明 ( \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) )。具體證明需要展開 ( AB ) 的行列式並利用排列的乘積性質。
行列式的性質可以通過其定義和排列的性質進行證明。線性性、反對稱性、單位矩陣的行列式以及乘積的行列式是行列式的核心性質，這些性質在矩陣運算和線性方程組的求解中具有重要作用。