圓周公式的證明通常基於幾何和微積分的方法。以下是兩種常見的證明方法：
方法一：幾何法
- 定義圓周：圓周是指一個圓的周長，即圍繞圓的邊界長度。
- 圓的定義：圓是平面上所有到一個固定點（圓心）距離相等的點的集合。這個固定距離稱為半徑 ( r )。
- 圓周公式：圓周 ( C ) 與半徑 ( r ) 的關係為 ( C = 2\pi r )，其中 ( \pi ) 是一個常數，約等於3.14159。
方法二：微積分法
- 參數化圓：考慮一個半徑為 ( r ) 的圓，可以用參數方程表示為：
[
x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta
]
其中 ( \theta ) 是從 ( 0 ) 到 ( 2\pi ) 的角度。
- 計算弧長：弧長 ( ds ) 可以通過微分幾何的方法計算：
[
ds = \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2 + \left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2} d\theta
]
代入參數方程，得到：
[
ds = \sqrt{(-r \sin \theta)^2 + (r \cos \theta)^2} d\theta = r d\theta
]
- 積分求周長：將 ( ds ) 從 ( 0 ) 到 ( 2\pi ) 積分，得到圓周：
[
C = \int_0^{2\pi} r d\theta = r \cdot 2\pi = 2\pi r
]
這兩種方法都證明了圓周公式 ( C = 2\pi r ) 的正確性。