橢圓圓周公式

橢圓的周長計算較為複雜，因為它不像圓形那樣有簡單的公式。橢圓的周長公式涉及橢圓的長半軸 ( a ) 和短半軸 ( b )，但沒有一個精確的初等函數表達式。通常，橢圓周長的近似公式如下：

1. 拉馬努金近似公式
   印度數學家拉馬努金提出了一個較為精確的近似公式：
   [ C \approx \pi \left[ 3(a + b) - \sqrt{(3a + b)(a + 3b)} \right] ]

2. 積分表達式
   橢圓的周長可以用積分形式表示：
   [ C = 4a \int_0^{\pi/2} \sqrt{1 - e^2 \sin^2 \theta} \, d\theta ]
   其中，( e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} ) 是橢圓的離心率。

3. 級數展開
   橢圓周長也可以用無窮級數表示：
   [ C = 2\pi a \left[ 1 - \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \right)^2 \frac{e^{2n}}{2n-1} \right] ]

這些公式中，拉馬努金的近似公式在實際應用中較為常用，因為它計算簡單且精度較高。如果需要更高精度，可以使用數值積分方法計算。